Question

已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且满足下列条件：
①f（x）=-f（-x）；
②f（x）在定义域上单调递减；
③f（1-a）+f（1-a²）＜0．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：由函数奇偶性的定义和题意判断出f（x）是奇函数，利用奇函数的性质转化不等式，再利用函数的单调性和定义域列出不等式组，求出实数a的取值范围．

解答： 解：因为函数f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）=-f（-x），
所以函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
则f（1-a）+f（1-a²）＜0可化为f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1），
因为f（x）在定义域上单调递减，
所以

-1＜1-a＜1 -1＜a2-1＜1 1-a＞a2-1

，解得0＜a＜1，
所以实数a的取值范围是（0，1）．

点评：本题考查函数奇偶性的定义、性质，以及函数的单调性，注意函数定义域的应用，考查转化思想．