Question

13．已知双曲线E$：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，其一渐近线被圆C：（x-1）²+（y-3）²=9所截得的弦长等于4，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由圆C：（x-1）²+（y-3）²=9可得圆心（1，3），半径为3，
双曲线E$：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，的一条渐近线方程为bx-ay=0，
渐近线被圆C：（x-1）²+（y-3）²=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：$\frac{|b±3a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
由弦长公式可得2=$\sqrt{9-（\frac{|b±3a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）^{2}}$，可得$\frac{（b±3a）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=5$，解得$\frac{b}{a}=2或\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，
即c=$\sqrt{5}$a或c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$或e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到值的距离公式，考查运算能力，属于中档题．