Question

3．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论正确的是（　　）

• A． 直线A₁B与直线AC所成的角是45°
• B． 直线A₁B与平面ABCD所成的角是30°
• C． 二面角A₁-BC-A的大小是60°
• D． 直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角是30°

Answer 1

分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：对于A，连结BC₁、A₁C₁，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A平行且等于C₁C，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，可得A₁C₁∥AC，
因此∠BA₁C₁（或其补角）是异面直线A₁B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A₁B₁C中A₁B=BC₁=C₁A₁=$\sqrt{2}$a，
∴△A₁B₁C是等边三角形，可得∠BA₁C₁=60°，
即异面直线A₁B与AC所成的角等于60°．即A不正确；
直线A₁B与平面ABCD所成的角是∠A₁BA=45°，即B不正确；
二面角A₁-BC-A的平面角是∠A₁BA=45°，即C不正确；
因为BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，所以∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．设正方体的棱长为a
在RT△A₁BO中，A₁B=$\sqrt{2}$a，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，所以BO=$\frac{1}{2}$A₁B，∠BA₁O=30°，
即直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角为30°，即D正确．
故选D．

点评 本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．