Question

已知函数满足，且 在上恒成立.
(1)求的值；
(2)若,解不等式；
(3)是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1），；（2）当，，当；（3）当时，在上有最小值－5.

解析试题分析：本题考查计算能力和分类讨论的数学思想.（1）求函数的导数，由二次函数知识求恒成立问题；（2）求导，化为时，对b的值分类讨论，分别求解；（3）对函数求导后，其导函数是一个二次函数，根据对轴称与区间的关系来分类讨论.
试题解析：（1）；

恒成立；
即恒成立；
显然时，上式不能恒成立；
∴，由于对一切则有：
，即，解得：；
∴，.
（2）  
由得：；
即，即 ；
∴当，
，
当.
（3）假设存在实数使函数在区间 上有最小值－5.
图象开口向上且对称轴为
①当，此时函数在区间上是递增的；

解得与矛盾；
②当，此时函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，
即
解得；
.
③当，此时函数在区间上递减的；
,即
解得,满足
综上知：当时，在上有最小值－5.
考点：1、函数的导数及其应用；2、二次函数的图象及其性质；3、分类讨论的数学思想.