Question

1．已知函数f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx．
（1）若a＞$\frac{1}{2}$，讨论函数的单调性；
（2）若方程f（x）=ax有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（2）由f（x）=ax得a=xlnx+1，令g（x）=xlnx+1，利用导数求得g（x）的最值，即可求出a的范围．

解答 解：（1）$f（x）=ax+\frac{a-1}{x}-lnx$定义域为（0，+∞），
求导得f′（x）=a-$\frac{a-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x-（a+1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax+a-1）（x-1）}{{x}^{2}}$
令f′（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{a}$-1，
当a≥1时，x=$\frac{1}{a}$-1≤0，令f′（x）＞0得x＞1，于是函数在（1，+∞）上单调递增；
令f′（x）＜0得0＜x＜1，于是函数在（0，1）上单调递减；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，x=$\frac{1}{a}$-1∈（0，1），
令f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{a}$-1或x＞1，于是函数在（0，$\frac{1}{a}$-1）和（1，+∞）上单调递增；
令f′（x）＜0得$\frac{1}{a}$-1＜x＜1，于是函数在（$\frac{1}{a}$-1，1）上单调递减；
（2）若f（x）=ax，
即$\frac{a-1}{x}$-lnx=0，
即a=xlnx+1，
令g（x）=xlnx+1，定义域为（0，+∞），
∴g′（x）=1+lnx，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
令g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，于是函数（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增；
令g′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，于是函数在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减；
∴g（x）_min=g（e）=1-$\frac{1}{e}$，
又x→0时，f（x）→1，
∵方程f（x）=ax有两个相异实根，
∴y=g（x）与y=a有两个交点，
∴a的取值范围为（1-$\frac{1}{e}$，1）

点评 本题主要考查利用导数判断函数的单调性求极值问题，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力，属中档题．