Question

【题目】已知椭圆C方程：+=1（a＞b＞0），M（x0 ， y0）是椭圆C上任意一点，F（c，0）是椭圆的右焦点．
（1）若椭圆的离心率为e，证明|MF|=a﹣ex0；
（2）已知不过焦点F的直线l与圆x2+y2=b2相切于点Q，并与椭圆C交于A，B两点，且A，B两点都在y轴的右侧，若a=2，求△ABF的周长．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵M（x0 ， y0）是椭圆C上任意一点，椭圆的右准线方程为x=，
∴=e
∴|MF|=a﹣ex0；
（2）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（x1＞0，x2＞0），
连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2=x12+y12﹣b2 ，
∵y12=b2﹣x12 ，
∴|AQ|2=1﹣x12=e2x12；
∴|AQ|=ex1 ，
同理：|BQ|=ex2 ，
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=e（x1+x2）
∴|AB|+|AF|+|BF|=e（x1+x2）+a﹣ex1+a﹣ex2=2a
∴a=2时，△ABF的周长为4．
【解析】（1）利用椭圆的第二定义，即可得出结论；
（2）证明|AQ|=ex1 ， |BQ|=ex2 ， 即可求出△ABF的周长．