Question

已知圆C过点p（0，2，）O（0，0），Q（4，0）三点：
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，2）的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4，求直线l方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据题意可得，△POQ是直角三角形，所以过这三点的圆C是以PQ为直径的圆．从而可求出圆心和半径，进而求出圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，分k不存在和存在两种情况讨论．当k不存在时，直线方程为x=2，此时|MN|=2

5

，不满足条件．当k存在时，利用弦长公式以及点直线的距离公式即可得到k=0．从而求出直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，△POQ显然是直角三角形，
∴过这三点的圆C是以PQ为直径的圆．
∴圆心C（2，1），半径为

5

．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，
（1）当k不存在时，直线l的方程为x=2．
则M（2，1+

5

），N（2，1-

5

）．
|MN|=2

5

，不满足条件．
（2）当k存在时，设直线l为y-2=k（x-2）．
即kx-y-2k+2=0．
圆心C到直线l的距离d=

|2k-1-2k+2|

k2+1

=

5-22

=1．
解得k=0．
∴直线l的方程为y=2．
综上所述，直线l的方程为y=2．

点评：本题考查圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相交的性质等知识，属于中档题．