Question

17．已知O为坐标原点，设向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，-2），$\overrightarrow{OB}$=（1，4），$\overrightarrow{OC}$=（2，-4），在向量$\overrightarrow{OC}$上是否存在点P，使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设在向量$\overrightarrow{OC}$上存在点P，使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，根据$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即可求出是否存在满足条件的点P．

解答 解：假设在向量$\overrightarrow{OC}$上存在点P（2x，-4x），使得$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{PB}$，
则$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$=（-1-x，-2+4x），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$=（1-2x，4+4x）；
 所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-1-x）（1-2x）+（-2+4x）（4+4x）=0，
化简得，2x²+x-1=0；
解得x=$\frac{1}{2}$，或x=-1（舍去），
所以存在点P（1，-2）满足条件．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目．