Question

如图，在底面是菱形的四棱锥中，，点E在上，且

（I）证明：；

（Ⅱ）求以为棱，与为面

    的二面角的大小；

 

Answer 1

解法一：

（I）证明：因为底面是菱形，，

 所以，在中，

 由知

同理，所以平面

 

 

（Ⅱ）解：作交于，

由平面

知平面作于，连接，

则即为二面角的平面角。

又所以

从而

（Ⅲ）当是棱的中点时，平面证明如下，

取的中点，连结，则①

由   知是的中点

连结，设，则为的中点。

所以    ②

由①、②知，平面平面。

又  平面，所以平面

解法二：

（I）证明：因为底面是菱形，，

所以在中，

由 知

同理，，所以平面

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点垂直平面 的直线为轴，建立空间直角坐标系如图，由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

 

 

设是平面的一个法向量。

则

=0

令得即

又由已知是平面的一个法向量，且

， 

（Ⅲ）（法一）设点是棱上的点，其中，则  

       

    由（Ⅱ）知是平面的一个法向量

     即

    解得

   即是的中点时，。/

   又平面，所以当是棱的中点时，平面

  （法二）当是棱的中点时，平面，证明如下：

   因为

   

    所以   共面。

    又平面，从面平面