Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，为棱的中点．

（1）求证：平面．

（2）若平面，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，则为的中点，为棱的中点，根据三角形中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）取的中点，连接，过作交于点，根据平面，，得到，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．分别求得平面和平面的一个法向量，代入公式求解.

（1）如图所示：

连接交于点，连接，则为的中点，

因为为棱的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）取的中点，连接，过作交于点，

因为平面，，，所以，，两两垂直，

故以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意可得，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量为，

则，

即，

令，，可得，

设平面的一个法向量为，

，

即

令可得，

设二面角的大小为，

则，

所以二面角的余弦值为．