Question

11．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-1-log₂（-x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），对任意x∈R，t∈[-2，2]，不等式g（x）≥mt+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数奇偶性的性质求得f（0）=0，再由x＜0时的解析式求出x＞0时的解析式得答案；
（2）通过研究函数g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）的最小值，将问题转化为mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，再构建函数，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；
又当x＜0时，f（x）=-1-log₂（-x），
设x＞0，则-x＜0，
∴f（x）=-f（-x）=-（-1-log₂x）=1+log₂x．
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-1-lo{g}_{2}（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{1+lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）∵2^x+3＞0，2^x+1＞0，
∴g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）=2[1+$lo{g}_{2}（{2}^{x}+3）$]-[1+$lo{g}_{2}（{2}^{x}+1）$]
=1+$2lo{g}_{2}（{2}^{x}+3）-lo{g}_{2}（{2}^{x}+1）$=$1+lo{g}_{2}\frac{（{2}^{x}+3）^{2}}{{2}^{x}+1}$ 
=$lo{g}_{2}\frac{（{2}^{x}+1）^{2}+4（{2}^{x}+1）+4}{{2}^{x}+1}$=$lo{g}_{2}[（{2}^{x}+1）+\frac{4}{{2}^{x}+1}+4]$，
∵$（{2}^{x}+1）+\frac{4}{{2}^{x}+1}+4≥2\sqrt{（{2}^{x}+1）•\frac{4}{{2}^{x}+1}}+4$=8（当且仅当${2}^{x}+1=\frac{4}{{2}^{x}+1}$，即2^x+1=2，x=0时“=”成立），
∴函数g（x）≥log₂8=3，函数g（x）的最小值为3．
不等式g（x）≥mt+m对x∈R，t∈[-2，2]恒成立，即mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，令h（t）=mt+m-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）=-2m+m-3≤0}\\{h（2）=2m+m-3≤0}\end{array}\right.$，解得-3≤m≤1．
故实数m的取值范围是[-3，1]．

点评 本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数的最值，考查恒成立问题，合理转化是解题的关键，属中高档题．