Question

【题目】已知函数(a>0且a≠1).

(1)若f(x)为定义域上的增函数,求实数a的取值范围;

(2)令a=e,设函数,且g(x1)+g(x2)=0,求证:x1+x2≥2+.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)f'(x)=2x2-3x+,

由f(x)为增函数可得f'(x)≥0恒成立,

则由2x2-3x+≥02x3-3x2≥-,设m(x)=2x3-3x2,则

m'(x)=6x2-6x,由m'(x)=0,得x=1(x=0舍去),故

m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以m(x)min=m(1)=-1,所以-1≥-,

当a>1时,易知a≤e,当0<a<1时,则<0,这与1≤矛盾,

从而不能使f'(x)≥0恒成立,所以1<a≤e.

(2)证明:g(x)=x3-x2+ln x-x3-4ln x+6x=-x2-3ln x+6x,因为g(x1)+g(x2)=0,

所以--3ln x1+6x1+=0,

所以-(+)-3ln(x1x2)+6(x1+x2)=0,

即-[(x1+x2)2-2x1x2]-ln(x1x2)+2(x1+x2)=0,

即-(x1+x2)2+x1x2-ln(x1x2)+2(x1+x2)=0,

所以-(x1+x2)2+2(x1+x2)=ln(x1x2)-x1x2.

令x1x2=t,g(t)=ln t-t,则g'(t)=-1=,g(t)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,

所以g(t)≤g(1)=-1,所以-(x1+x2)2+2(x1+x2)≤-1,整理得(x1+x2)2-4(x1+x2)-2≥0,

解得x1+x2≥2+或x1+x2≤2-(舍去),所以x1+x2≥2+.