Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆C上一点，且的中点B在y轴上，.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若直线交椭圆于P、Q两点，若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线于点M，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由BO为的中位线，可求出，由此可设，代入椭圆方程，联立，，即可求出，，从而得到椭圆方程；

（2）设、，联立，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系及中点坐标公式求出PQ的中点N的坐标，再由弦长公式求出，由点N的坐标写出直线ON的方程，求出点M.的坐标，再由两点间距离公式求出，然后求，换元法求出其最大值.

（1）因为B为的中点， O为线段的中点，

所以BO为的中位线，所以，

又因为，所以，所以可设

又为椭圆C上一点，所以将代入椭圆方程可得

又，，联立解得，，

故所求椭圆方程为；

（2）由直线方程为，

联立，可得.

设、，则，，

所以为；

所以PQ的中点N坐标为，

因此直线ON的方程为，

从而点M为，又，所以，

设，令，则，

所以，

因此当，即时取得最大值.