Question

（14分）（2011•天津）已知函数f（x）=4x³+3tx²﹣6t²x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

（Ⅰ）y=﹣6x
（Ⅱ）（1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t）
（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，）
（Ⅲ）见解析

试题分析：（I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（II）根据f'（0）=0，解得x=﹣t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；
（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当≥1与当0＜＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．
解：（I）当t=1时，f（x）=4x³+3x²﹣6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣6x．
（II）解：f'（x）=12x²+6tx﹣6t²，f'（0）=0，解得x=﹣t或x=
∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则＜﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，），（﹣t，+∞）；f（x）的单调减区间是（，﹣t）
（2）若t＞0，则＞﹣t，∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣t），（，+∞）；f（x）的单调减区间是（﹣t，）
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t²+4t+3≤﹣13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，）内单调递减，在（，1）内单调递增
若t∈（0，1]，f（）=+t﹣1≤＜0，
f（1）=）=﹣6t²+4t+3≥﹣2t+3＞0
所以f（x）在（，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（）=+t﹣1＜+1＜0，
f（0）=t﹣1＞0∴f（x）在（0，）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．