Question

已知函数f（x）=e^x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意函数a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
其中正确命题的序号是（　　）

A．②

B．①②

C．③

D．①③

Answer 1

分析：求出函数的导函数，分析当a∈（0，+∞）时，导函数的符号，进而可得函数的单调性；分析当a∈（-∞，0）时，函数的单调性，进而求出函数的最值，进而可判断②；分析函数的零点及单调性，可判断③．

解答：解：∵f′（x）=ex+

a

x

，定义域为D（0，+∞）．
当a∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函数，故①错误；
当a∈（-∞，0）时，存在x₀∈D，使f′（x）=0，
则f（x）在（0，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数，
则f（x₀）为函数的最小值，故②正确；
当a∈（0，+∞）时，函数存在零点x₀，由①得f（x）是D上的增函数，
则当x∈（0，x₀）时，f（x）＜0．故③错误；
故选：A

点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导函数求函数的单调性，最值，零点，难度中档．