Question

我们把在线段上到两端点距离之比为

5 -1

2

≈0.618的点称为黄金分割点．类似地，在解析几何中，我们称离心率为

5 -1

2

的椭圆为黄金椭圆，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的焦距为2c，则下列四个命题：
①a、b、c成等比数列是椭圆为黄金椭圆的充要条件；
②若椭圆是黄金椭圆且F₂为右焦点，B为上顶点，A₁为左顶点，则

BA1

•

BF2

=0
③若椭圆是黄金椭圆，直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），且PE与PF的斜k_PE、k_PF存在，则k_PE•k_PF为定值．
④若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，且PQ与OM的斜率k_PQ与k_OM（O为坐标原点）存在，则k_PQ•k_OM为定值．
⑤椭圆四个顶点构成的菱形的内切圆过椭圆的焦点是椭圆为黄金椭圆的充要条件．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①：利用a，b，c的关系以及离心率公式求出e，同时再倒着推回来，如果能够互相推出，则结论成立；
对于②：由①知，a，b，c成等比，据此进一步推理，可以得到②成立；
对于③：由题意给出三个点的坐标（注意关于原点对称的两个点的坐标），由此给出斜率之积，判断其是否为定值；
对于④：设点法，给出点的坐标，结合中点与P，Q两点坐标间的关系，容易推导出需要的结论；
对于⑤：实际上利用椭圆的几何性质，容易得到原点到菱形边的距离，用a，b，c去表示，只要能够得到a，b，c成等比即可．

解答： 解：对于①：若a，b，c成等比数列，则b²=ac，即a²-c²=ac，两边同除以a²得1-e²=e，解得e=

-1± 5

2

（负值舍去），故e=

-1+ 5

2

，反之若e=

-1+ 5

2

，则1-e²=e，即1-

c2

a2

=

c

a

，即a²-c²=ac，即b²=ac，故①为真命题；
对于②：椭圆是黄金椭圆，由（1）知，b²=ac，由题意F₂（c，0），B（0，b），A₁（-a，0），所以

BA1

•

BF2

=(-a，-b)•(c，-b)=b²-ac=0，即b²=ac．故②成立；
对于③：设E（x，y），F（-x，-y），P（m，n），则kPE=

n-y

m-x

，kPF=

n+y

m+x

，又

x2

a2

+

y2

b2

=1（1），

m2

a2

+

n2

b2

=1（2）
（2）-（1）式得

m2-x2

a2

+

n2-y2

b2

=0，化简得

(m-x)(m+x)

a2

+

(n-y)(n+y)

b2

=0，即

(n-y)(n+y)

(m-x)(m+x)

=-

b2

a2

，即kPE•kPF=-

b2

a2

（定值），故③真命题；
对于④：设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），PQ中点为（m，n），则kPQ=

y1-y2

x1-x2

，kOM=

n

m

=

y1+y2 2

x1+x2 2

=

y1+y2

x1+x2

（*）
则

x12

a2

+

x22

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-

b2

a2

，结合（*）可知kPQ•kOM=-

b2

a2

（定值）故④是真命题；
对于⑤：设左顶点A（-a，0），上顶点B（0，b），则直线AB的方程为bx-ay+ab=0，由题意原点到直线AB的距离

ab

a2+b2

=c，即a²b²=a²c²+b²c²，
即（a²-c²）b²=a²c²，即b⁴=（ac）²，所以b²=ac，结合①可知，该椭圆是黄金椭圆，上面过程可逆推回去，所以是充要条件，故⑤真命题．
故答案为：①②③④⑤

点评：此题难度较大，作为一个填空题，综合考查了椭圆的标准方程及其几何性质，其中第③④个命题利用了坐标法解决问题，要注意设而不求的解法．