Question

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，则关于x的不等式x²（cosC+1）+2

2

xsinC+1≥0恒成立．
（1）求∠C的取值范围；
（2）若c=2

3

，a+b=4，求当∠C取最大值时△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由条件可得，cosC+1＞0，且△=（2

2

sinC）²-4（cosC+1）≤0，解出不等式，再由余弦函数的单调性，即可得到取值范围；
（2）应用余弦定理和面积公式，即可得到面积．

解答： 解：（1）由于关于x的不等式x²（cosC+1）+2

2

xsinC+1≥0恒成立，
则cosC+1＞0，且△=（2

2

sinC）²-4（cosC+1）≤0，即2cos²C+cosC-1≥0，
解得，cosC≥

1

2

，由于0＜C＜π，则0＜C≤

π

3

，
故∠C的取值范围是（0，

π

3

]；
（2）由（1）得，∠C的最大值为

π

3

．
则由c=2

3

，a+b=4，即有c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-ab，即12=16-3ab，即有ab=

4

3

，
故△ABC的面积为：

1

2

absinC=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查余弦定理和三角形的面积公式和应用，考查二次不等式恒成立的问题，考查三角函数的不等式的解法，属于中档题．