Question

用坐标法证明：在△ABC中，AO为BC边上的中线，则|AB|²+|AC|²=2（|AO|²+|BO|²）

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：以D为坐标原点、BC所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分别计算出|AB|²、|AC|²、|AO|²和|OC|²关于a、b、c的式子，再进行比较即可证出原等式成立．

解答： 证明：以O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图坐标系
设C（c，0），B（-c，0），A（a，b）
∴|AB|²=（a+c）²+b²，|AC|²=（a-c）²+b²
可得：|AB|²+|AC|²=[（a+c）²+b²]+[（a-c）²+b²]=2（a²+b²+c²）
∵|AO|²=a²+b²，|AC|²=c²．
∴2（|AO|²+|AC|²）=2（a²+b²+c²）
因此，|AB|²+|AC|²=2（|AO|²+|AC|²），原命题得证

点评：本题给出三角形的中线，求证与之相关的一个平方等式成立．着重考查了三角形中线的性质和运用坐标法证明几何性质等知识，属于基础题