Question

12．在△ABC中，内角A，B，C，$\overline{m}$=（1+tanA，$\sqrt{2}$），$\overline{n}$=（1+tanB，-$\sqrt{2}$）且满足$\overline{m}$⊥$\overline{n}$．
（1）求∠C；
（2）若cosAcosB=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，求sinAsinB的值；
（3）在（2）的条件下，设cos（α+A）cos（α+B）=$\frac{\sqrt{2}}{5}$cos²α，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积的坐标表示列式，化简可得tan（A+B）=1，结合A+B的范围求得A+B，则∠C可求；
（2）对cos（A+B）展开两角和的余弦，结合已知求得sinAsinB的值；
（3）把等式左边利用积化和差公式展开，由（2）中的条件进一步化简变形得到5sin2α-3cos2α=5．由万能公式转化为含有tanα的方程求解．

解答 解：（1）△ABC中，由$\overline{m}$=（1+tanA，$\sqrt{2}$），$\overline{n}$=（1+tanB，-$\sqrt{2}$）且满足$\overline{m}$⊥$\overline{n}$，
可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（1+tanA）（1+tanB）-2=0，化简可得tanA+tanB=1+tanAtanB，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=1，
∵0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$，则C=$\frac{3π}{4}$．
（2）若cosAcosB=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∵cos（A+B）=cos$\frac{π}{4}$=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$-sinAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（3）由cos（α+A）cos（α+B）=$\frac{\sqrt{2}}{5}$cos²α，得
$\frac{1}{2}[cos（2α+A+B）+cos（A-B）]$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$cos²α，
∴$cos（\frac{π}{4}+2α）+cosAcosB+sinAsinB$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}co{s}^{2}α$，
∵cosAcosB=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，sinAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴cos$\frac{π}{4}$cos2α$-sin\frac{π}{4}sin2α$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}（1+cos2α）$，
整理得：5sin2α-3cos2α=5．
∴$5•\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}-3•\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=5$，
即tan²α-5tanα+4=0，解得tanα=1或tanα=4．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了积化和差、万能公式等在解题中的应用，考查计算能力，是中档题．