Question

2．在△ABC中，交A，B，C的对边分别为a，b，c，且1+$\frac{3}{5cos（A-B）cosB}$=tan（A-B）tanB．
（1）求sinA的值
（2）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）整理已知等式求得cosA的值，进而利用同角三角函数关系求得sinA的值．
（2）利用正弦定理其求得sinB，进而利用余弦定理整理出关于c方程，求得c，最后利用向量的运算法则，求得答案．

解答 解：（1）∵1+$\frac{3}{5cos（A-B）cosB}$=tan（A-B）tanB．
∴5cos（A-B）cosB+3=$\frac{sin（A-B）sinB}{cos（A-B）cosB}$×5cos（A-B）cosB，
∴5cos（A-B）cosB+3=5sin（A-B）sinB，
∴cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B+B）=-$\frac{3}{5}$，即cosA=-$\frac{3}{5}$，
∵π∈（0，π）
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
（2）∵由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{5×\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题知，a＞b，则A＞B，故B=$\frac{π}{4}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴（4$\sqrt{2}$）²=5²+c²-2•5c•（-$\frac{3}{5}$），
解得c=1或c=-7（舍去），
∴向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为|$\overrightarrow{BA}$|cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用．灵活运用正弦定理和余弦定理对三角形的问题进行转化和化归是解题的关键，属于中档题．