Question

18．已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，acosA-bcosB=0，a≠b．
（1）求角C； 
（2）若y=$\frac{sinA+sinB}{sinA•sinB}$，试确定实数y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．由于a≠b，可得A≠B，可得A+B=$\frac{π}{2}$．即可得出C．
（2）由sinB=cosA 得y=$\frac{sinA+cosA}{sinAcosA}$，令 sinA+cosA=t∈（1，$\sqrt{2}$]，则 sinAcosA=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，根据t-$\frac{1}{t}$在（1，$\sqrt{2}$]单调递增，即可求得实数y的取值范围．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．
∴2A=2B，或2A=π-2B，
∵a≠b，∴A≠B，
∴A+B=$\frac{π}{2}$．
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$．…（6分）
（2）∵sinB=cosA，
∴y=$\frac{sinA+cosA}{sinAcosA}$，…（7分）
∵sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴sin（A+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴sinA+cosA∈（1，$\sqrt{2}$]，…（9分）
令 sinA+cosA=t∈（1，$\sqrt{2}$]，则 sinAcosA=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，…（11分）
∴y=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，…（12分）
∵t-$\frac{1}{t}$在（1，$\sqrt{2}$]单调递增，
∴0＜t-$\frac{1}{t}$≤$\sqrt{2}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y≥2$\sqrt{2}$，
又a≠b，故等号不成立，
∴y的取值范围为（2$\sqrt{2}$，+∞）…（14分）

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．