Question

13．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2n-1}$，数列{b_n}满足2a_n+b_n=1，若对于任意n∈N^*恒成立，不等式$\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$≥$\frac{k}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$恒成立，则k的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得b_n，代入$\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$，再由$\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$≥$\frac{k}{（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）}$分离参数k可得答案．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{2n-1}$，2a_n+b_n=1，
∴${b}_{n}=1-2{a}_{n}=1-\frac{2}{2n-1}=\frac{2n-3}{2n-1}$，
∴$\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×…×\frac{2n-1}{2n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$，
$1+{a}_{n}=1+\frac{1}{2n-1}=\frac{2n}{2n-1}$，
故对任意n∈N^*，k≤$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$恒成立，
令F（n）=$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n}）\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+1}}$，
则F（n+1）=$（1+{a}_{1}）（1+{a}_{2}）…（1+{a}_{n+1}）\sqrt{{b}_{2}{b}_{3}…{b}_{n+2}}$，
由$\frac{F（n+1）}{F（n）}=\frac{2n+2}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}=\sqrt{\frac{4{n}^{2}+8n+4}{4{n}^{2}+8n+3}}＞1$，
∴F（n）为增函数，则$F（n）_{min}=F（1）=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查数列与不等式的综合，训练了累积法的应用，体现了极限思想方法，是中档题．