Question

1．函数f（x）=$\sqrt{x}$-log₂（x+1）的零点个数为3．

Answer 1

分析 利用导数判断f（x）的单调性，使用换元法及根与系数的关系判断f（x）的极值点和极值的范围，根据零点的存在性定理得出答案．

解答 解：f（x）的定义域为[0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{（x+1）ln2}$=$\frac{（x+1）ln2-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}（x+1）ln2}$．
令f′（x）=0得xln2-2$\sqrt{x}$+ln2=0，
令$\sqrt{x}$=t（t≥0），则t²ln2-2t+ln2=0，
∵△=4-4ln²2＞0，∴方程t²ln2-2t+ln2=0有两个根，
不妨设两根为t₁，t₂，且t₁＜t₂，则t₁+t₂=$\frac{2}{ln2}$＞0，t₁t₂=1，
∴0＜t₁＜1＜t₂，
∴方程xln2-2$\sqrt{x}$+ln2=0存在两根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂．
∴当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，当x＞x₂时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．
∴f（x₁）＞f（1）=0，f（x₂）＜f（1）=0，又f（0）=0，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）=+∞，
∴f（x）共有三个零点．
故答案为：3．

点评 本题考查了函数的单调性，极值与函数零点的关系，属于中档题．