Question

4．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点．设AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求异面直线BC₁与A₁D所成角的大小．
（3）求B点到平面A₁DC的距离．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点F，连接C₁F，BF，FD，利用平行四边形的判定与性质定理可得C₁F∥CD，BF∥A₁D，再利用面面平行的判定与性质定理即可得出．
（2）由AC²+BC²=AB²，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°．由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得CC₁⊥AC，CC₁⊥BC．以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出．
（3）设平面CA₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出B点到平面A₁DC的距离．

解答 证明：（1）取A₁B₁的中点F，连接C₁F，BF，FD，则C₁F∥CD，BF∥A₁D，
∴平面BC₁F∥平面A₁CD，BC₁?平面BC₁F．
∴BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）∵AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC．
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，则
C（0，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），D（1，1，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，1，-2），
∴$cos＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}D}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{-6}{\sqrt{8}×\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴异面直线BC₁，A₁D所成的角为$\frac{π}{6}$．
（3）$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），设平面CA₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．
$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0），∴B点到平面A₁DC的距离=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角隅空间距离、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．