Question

14．已知圆F的方程为x²+y²-2x=0，与x轴正半轴交于点A，椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F，顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图D，C是椭圆上关于y轴对称的两点，在x轴上存在点B，使得四边形ABCD为菱形，求B点坐标．

Answer 1

分析 （1）圆的方程出A（2，0），圆心F（1，0），设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），则a=2，c=1，由此能求出椭圆方程．
（2）设D（m，n），则C（-m，n），B（2-2m，0），m＞0，n＞0，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（2-m）^{2}+{n}^{2}}=2m}\end{array}\right.$，由此能求出点B坐标．

解答 解：（1）∵圆F的方程为x²+y²-2x=0，与x轴正半轴交于点A，
∴令y=0，得A（2，0），圆心F（1，0），
∵椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F（1，0），顶点为A（2，0），
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），则a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设D（m，n），则C（-m，n），B（2-2m，0），m＞0，n＞0，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（2-m）^{2}+{n}^{2}}=2m}\end{array}\right.$，
由m＞0，解得m=$\frac{14}{15}$.2-2m=2-$\frac{28}{15}$=$\frac{2}{15}$，
∴B（$\frac{2}{15}$，0）．

点评 本题目考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．