Question

19．已知数列{a_n}满足：a_n≠0，a₁=1，a_n-a_n+1=2a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求证：$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，并求出a_n；
（3）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n＜$\frac{1}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）由a_n≠0，a_n+1≠0，对a_n-a_n+1=2a_na_n+1左右两边同时除以a_na_n+1得$\frac{a_n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=2$，化简利用等差数列的通项公式即可得出，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a_n-a_n+1=2a_na_n+1，及a₁=1知n=1时，a₁-a₂=2a₁a₂，${a_2}=\frac{1}{3}$；n=2时，a₂-a₃=2a₂a₃，${a_3}=\frac{1}{5}$．
（2）∵a_n≠0，∴a_n+1≠0，对a_n-a_n+1=2a_na_n+1左右两边同时除以a_na_n+1得$\frac{a_n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}-\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=2$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=2$（n∈N^*），易知$\frac{1}{a_1}=1$，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以1为首项2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）×2=2n-1$，${a_n}=\frac{1}{2n-1}$，
（3）${b_n}=\frac{1}{2n-1}•\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
∵n∈N^*，∴$\frac{1}{2n+1}＞0$，∴$1-\frac{1}{2n+1}＜1$，∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．