Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（-1，1）内，则实数a的取值范围是（$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 求导函数，则问题转化为方程3x²+2ax+1=0的根都在区间（-1，1）内，构造函数g（x）=3x²+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²+x+2（a＞0）求导函数，可得f′（x）=3x²+2ax+1
则由题意，方程3x²+2ax+1=0的两个不等根都在区间（-1，1）内，
构造函数g（x）=3x²+2ax+1，则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-12＞0\\-1＜-\frac{a}{3}＜1\\ g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4{a}^{2}-12＞0\\-1＜-\frac{a}{3}＜1\\ 4-2a＞0\\ 4+2a＞0\end{array}\right.$，
∴$\sqrt{3}$＜a＜2
∴实数a的取值范围是（$\sqrt{3}$，2）
故答案为：（$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查方程根的研究，解题的关键是问题转化为方程3x²+2ax+1=0的根都在区间（-1，1）内．函数的零点与根的分布，考查转化思想以及计算能力．