Question

17．已知实数x，y满足：$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1．
（Ⅰ）解关于x的不等式：y＞x+1；
（Ⅱ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1可化得y=$\frac{x+1}{x}$；从而解不等式即可；
（Ⅱ）化简2x+y=2x+$\frac{x+1}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{2}$+1；注意不等式等号成立的条件即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴y=$\frac{x+1}{x}$；
∴$\frac{x+1}{x}$＞x+1，
解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）；
（Ⅱ）∵x＞0，y＞0，y=$\frac{x+1}{x}$，
∴2x+y=2x+$\frac{x+1}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{2}$+1；
（当且仅当2x=$\frac{1}{x}$，x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）；
2x+y的最小值为2$\sqrt{2}$+1，没有最大值．

点评 本题考查了不等式的解法与基本不等式的应用，属于基础题．