Question

已知函数f(x)=ln

1+x 1-x

，g（x）=x+ax³，a为常数．
（1）求函数f（x）的定义域M；
（2）若a=0时，对于x∈M，比较f（x）与g（x）的大小；
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数．

Answer 1

分析：（1）由题意，真数大于0，可得不等式，从而确定函数f（x）的定义域M；
（2）a=0时，h（x）=ln

1+x 1-x

-x．求导函数可知h（x）在M=（-1，1）内是增函数，从而可解；
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．由于h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1-3ax2=

x2(1-3a+3ax2)

1-x2

，故对a进行讨论，从而确定函数的零点．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0，得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域M=（-1，1）．               …（3分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x），则a=0时，h（x）=ln

1+x 1-x

-x．
又h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1=

x2

1-x2

≥0（仅在x=0时，h'（x）=0）
∴h（x）在M=（-1，1）内是增函数，…（6分）∴当-1＜x＜0时，h（x）＜h（0）=0，f（x）＜g（x）；
当x=0时，h（x）=h（0）=0，f（x）=g（x）；当0＜x＜1时，h（x）＞h（0）=0，f（x）＞g（x）．     …（8分）
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．
因为h（x）=ln

1+x 1-x

-x-ax3，所以h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1-3ax2=

x2(1-3a+3ax2)

1-x2

①当a＜0时，1-

1

3a

＞1，x²＜1，所以h'（x）═

3ax2[x2-(1- 1 3a )]

1-x2

≥0（仅在x=0时，h'（x）=0）h（x）在M=（-1，1）内是增函数，
又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点；                               …（9分）
②当a=0时，由（2）知h（x）有唯一零点；            …（10分）
③当0＜a≤

1

3

时，1-

1

3a

≤0，0≤x²＜1h'（x）═

3ax2[x2-(1- 1 3a )]

1-x2

≥0（仅在x=0时，h'（x）=0）
所以h（x）在M=（-1，1）内是增函数，又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点；                    …（11分）
④当a＞

1

3

时，0＜1-

1

3a

＜1，h'（x）=

3ax2(x2+1- 1 3a )

1-x2

=

3ax2(x+ 1- 1 3a )(x- 1- 1 3a )

1-x2

x∈(-1  ，  -

1- 1 3a

 )，或x∈( 

1- 1 3a

  ，  1)时，h'（x）＞0，h（x）递增，x∈(-

1- 1 3a

  ，  

1- 1 3a

)时，h'（x）＜0，h（x）递减．h(-

1- 1 3a

)＞h(0)=0，h(

1- 1 3a

)＜h(0)=0；
x→-1⁺时，h（x）→-∞；  x→1^-时，h（x）→+∞，
∴h（x）在区间(-1  ，  -

1- 1 3a

 )，(-

1- 1 3a

  ，  

1- 1 3a

)及( 

1- 1 3a

  ，  1)内各有一个零点．
…（13分）
综上，当a≤

1

3

时，方程f（x）=g（x）有唯一解；
当a＞

1

3

时，方程f（x）=g（x）有三个解．       …（14分）

点评：本题主要考查函数的定义域，考查利用单调性比较大小，利用导数研究函数零点问题，有一定的难度．