Question

若函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：由题意根据函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[-10，10]上的最大值，然后再进行判断．
解答：∵函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，
又f（x）=x³-ax=x（x²-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±，
函数f（x）=x³-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上
∴≤10∴a≤100
∵f'（x）═3x²-a，令f（x）′=0，
解得x=±，
∴当x＞或x＜-时，f（x）′＞0，为增函数；
当-＜x＜时，f（x）′＜0，为减函数；
∴当x=-时，有极大值，f（-）=-a×（）=≤，
∵＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性f（x）=x³-ax（a＞0）
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x³-ax=1000，可得
此时有a=，由于x为大于10的整数，由上知≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有=196-＞100
故可得a的值有三个，
应选C．

点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[-10，10]上的值域，是一道好题．