Question

【题目】已知

（I）求函数的极值；

（II）设，若有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）时，没有极值，时有极小值；（II）.

【解析】

（I）求得函数的，将分成两类，利用的正负情况，得到的单调区间，进而求得的极值.（II）先求得函数的表达式，并求得其导数，对分成 类，利用的单调区间和极值情况，结合题意“有两个零点”的要求，求得的取值范围.

（I）.（1）若，显然，所以在上递增，所以没有极值.（2）若，则，，所以在上是减函数，在上是增函数.所以在处取极小值，极小值为.（II）.函数的定义域为，且.（1）若，则；.所以在上是减函数，在上是增函数.所以.令，则.显然，所以在上是减函数.又函数在上是减函数，取实数，则.又，在上是减函数，在上是增函数.由零点存在性定理，在上各有一个唯一的零点.所以符合题意.（2）若，则，显然仅有一个零点.所以不符合题意.（3）若，则.①若，则.此时，即在上递增，至多只有一个零点，所以不符合题意.②若，则，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极大值，且极大值，所以最多有一个零点，所以不符合题意.③若，则，函数在和上递增，在上递减，所以在处取得极大值，且极大值为，所以最多有一个零点，所以不符合题意.综上所述，的取值范围是.