Question

在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为

x= 2 +t y=t

（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换

x′=x y′=2y

得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x²+xy+y²的最大值，并求相应点M的坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x²+xy+y²中，求出4x²+xy+y²取得最大值时对应的M点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程

x= 2 +t y=t

（t为参数）化为普通方程是x-y-

2

=0，
圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x²+y²=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d=

|0-0- 2 |

12+(-1)2

=1，等于圆的半径r，
∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（Ⅱ）圆C的参数方程是

x=cosθ y=sinθ

，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是

x=cosθ y=2sinθ

，（0≤θ＜2π）；
∴4x²+xy+y²=4cos²θ+cosθ•2sinθ+4sin²θ=4+sin2θ；
当θ=

π

4

或θ=

5π

4

时，4x²+xy+y²取得最大值5，
此时M的坐标为（

2

2

，

2

）或（-

2

2

，-

2

）．

点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．