Question

在极坐标系中，圆C的圆心坐标为C（2，

π

3

），半径为2．以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t为参数）
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆C的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）求出圆的直角坐标方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出极坐标方程；
（II）把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t为参数）代入x2+y2-2x-2

3

y=0得t²=4，可得点A、B对应的参数分别为t₁=2，t₂=-2，令

3

+

1

2

t=0得点P对应的参数为t0=-2

3

．利用|PA|+|PB|=|t₁-t₀|+|t₂-t₀|即可得出．
法二：把把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t为参数）化为普通方程得y-

3

=-

3

3

(x-1)，令y=0得点P坐标为P（4，0），由于直线l恰好经过圆C的圆心C，可得|PA|+|PB|=2|PC|．

解答：解：（I）在直角坐标系中，圆心的坐标为C(1，

3

)，
∴圆C的方程为(x-1)2+(y-

3

)2=4即x2+y2-2x-2

3

y=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得：ρ2-2ρcosθ-2

3

ρsinθ=0，即ρ=4sin(θ+

π

6

)．
（II）法一：把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t为参数）代入x2+y2-2x-2

3

y=0得t²=4，
∴点A、B对应的参数分别为t₁=2，t₂=-2，
令

3

+

1

2

t=0得点P对应的参数为t0=-2

3

．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₀|+|t₂-t₀|=|2+2

3

|+|-2+2

3

|=4

3

．
法二：把把

x=1- 3 2 t y= 3 + 1 2 t

（t为参数）化为普通方程得y-

3

=-

3

3

(x-1)，
令y=0得点P坐标为P（4，0），
又∵直线l恰好经过圆C的圆心C，
故|PA|+|PB|=2|PC|=2

(4-1)2+( 3 -0)2

=4

3

．

点评：本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、参数方程的应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．