Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t 为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=

2cosθ

sin2θ

．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）用极坐标公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（II）将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，计算|AB|=|t₁-t₂|的值．

解答：解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ=

4cosθ

sin2θ

，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，即y²=4x，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x；
（II）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t2-8

3

t-16=0；
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
则t1+t2=8

3

，t₁•t₂=-16；
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

64×3+64

=16，
则|AB|的值为16．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时把极坐标方程化为普通方程，再根据参数方程的几何意义，求出|AB|的值，是中档题．