Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（-2，1），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：对第（1）问，先将方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆C的直角坐标方程；
对第（2）问，先验证点M在直线l上，由已知点M写出l的参数方程，再将此参数方程代入圆的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何含义可探求|MA|+|MB|的值．

解答：解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，
将极坐标与直角坐标互化公式

ρ2=x2+y2 ρsinθ=y

代入上式，
整理得圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．
（2）由

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，
因为点M（-2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

，
代入圆C的方程中，得t2-3

2

t+1=0．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，由韦达定理，得t1+t2=3

2

＞0，t₁t₂=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=t1+t2=3

2

，
即|MA|+|MB|=3

2

．

点评：1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

（x≠0）等．
2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M₀（x₀，y₀），且倾斜角为α的直线的参数方程为

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

，参数t表示以M₀为起点，直线上任意一点M为终点的向量

M0M

的数量，即当

M0M

沿直线向上时，t=|

M0M

|；当

M0M

沿直线向下时，t=-|

M0M

|．