Question

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，

BA

=3

PA

，点P的轨迹为曲线C．
（1）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；
（2）求点P到点D（0，-2）距离的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,轨迹方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）设出点P（x，y），用直线AB的倾斜角α表示x、y，得出曲线C的参数方程；
（2）由点P与点D的坐标求出|PD|²的表达式，求出最大值即可．

解答：解：（1）设P（x，y），由题设可知，
则x=

2

3

|AB|cos(π-α)=-2cosα，y=

1

3

|AB|sin(π-α)=sinα，
所以曲线C的参数方程为

x=-2cosα y=sinα

（α为参数，

π

2

＜α＜π）．                  …（5分）
（2）由（1）得|PD|²=（-2cosα）²+（sinα+2）²=4cos²α+sin²α+4sinα+4
=-3sin2α+4sinα+8=-3(sinα-

2

3

)2+

28

3

．
当sinα=

2

3

时，|PD|取得最大值

2 21

3

．                                    …（10分）

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了三角函数的求值与化简问题，解题时应有一定的逻辑思维能力和计算能力，是基础题．