Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

（1）写出{a_n}的前3项；

（2）求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

（1）解：由题意知，当n=1时，有=，S₁=a₁，所以=，解得a₁=2.

当n=2时，有=，S₂=a₁+a₂=2+a₂，

代入整理得

（a₂-2）²=16.

由a₂>0得a₂=6.

当n=3时，有=，S₃=a₁+a₂+a₃=8+a₃，

代入整理有（a₃-2）²=64.由a₃>0得a₃=10.

故该数列前3项依次为2，6，10.

（2）解法一：由（1）猜想{a_n}有通项公式a_n=4n-2.下面用数学归纳法证明.

①当n=1时，a₁=2，4×1-2=2.

所以当n=1时结论成立.

②假设n=k时结论成立，即a_k=4k-2.

由题意=，将a_k=4k-2代入，解得S_k=2k²                              ①

由题意得=，                                                                 ②

S_k+1=S_k+a_k+1=2k²+a_k+1，                                                                 ③

把①③代入②得a_k+1²-4a_k+1+4-16k²=0.

又a_k+1>0，所以a_k+1=2+4k=4（k+1）-2，

所以n=k+1时结论成立.

根据①②知，对所有的正整数n均有a_n=4n-2.

解法二：由已知=，得S_n=（a_n+2）²，

所以S_n+1=（a_n+1+2）².

所以a_n+1=S_n+1-S_n=［（a_n+1+2）²-（a_n+2）²］，

整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0.

又a_n+1+a_n>0,

所以a_n+1-a_n-4=0,即a_n+1-a_n=4.

所以{a_n}是等差数列,其中a₁=2,

公差d=4,

所以a_n=a₁+（n-1）d

=2+（n-1）×4=4n-2.