Question

已知函数f(x)=

2x，(0≤x≤1) - 2 5 x+ 12 5 ，(1＜x≤5).

（1）若函数y=f（x）的图象与直线kx-y-k+1=0有两个交点，求实数k的取值范围．
（2）试求函数g（x）=xf（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）作出图象，利用数形结合法即可求解，注意直线kx-y-k+1=0恒过定点（1，1）．
（2）求出函数g（x）的表达式，求分段函数的值域，要先求函数在各段的值域，然后求并集即可．

解答：解：（1）直线kx-y-k+1=0，可化为y-1=k（x-1），所以该直线过定点M（1，1）．
如下图所示：B（5，

2

5

），kMB=

1- 2 5

1-5

=-

3

20

，k_MO=1，
由图象可知k_MB≤k≤k_MO，即-

3

20

≤k≤1．
故实数k的取值范围为[-

3

20

，1]．
（2）g（x）=xf（x）=

2x2，(0≤x≤1) - 2 5 x2+ 12 5 x，(1＜x≤5)

①当0≤x≤1时，0≤g（x）≤2；
②当1＜x≤5时，g（x）=-

2

5

(x-3)2+

18

5

，此时2≤g（x）≤

18

5

．
综上，函数g（x）的值域为[0，

18

5

]．

点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质以及分段函数值域的求解．要深刻理解“三个二次”之间的关系，注意数形结合思想在解题中的应用．