Question

已知函数f（x）是R上周期为2的偶函数，且0≤x≤1时，f（x）=x³-

1

3

，则函数y=f（x）的图象在区间（-2，2）上与x轴的交点的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：分析0≤x≤1时，f（x）=x³-

1

3

的单调性结合零点存在定理，可得在区间[0，1]上函数存在唯一一个零点，进而结合函数的奇偶性及周期性，可得图象在区间（-2，2）上零点个数，进而根据零点个数即为函数图象与x轴交点个数得到答案．

解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=x³-

1

3

为增函数，且f（0）=-

1

3

＜0，f（1）=

2

3

＞0，故在区间[0，1]上函数存在唯一一个零点；
∵函数f（x）是偶函数，故在区间[-1，0]上函数存在唯一一个零点，
又∵函数f（x）是R上周期为2的周期函数，则在一个周期上函数有2个零点
故在区间（-2，2）上函数有4个零点
即函数y=f（x）的图象在区间（-2，2）上与x轴的交点的个数为4
故选C

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，函数的奇偶性，单调性，周期性，是函数性质与函数零点的综合应用．