Question

函数f（x）=a^x-x，（a＞1），求f（x）最小值，并求最小值小于0时，a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f'（x）=a^xln^a-1，f'（x）＞0，即a^xln^a＞1，
∴，又a＞1，∴x＞-log_a^lna；
同理f'（x）＜0，有∴x＜-log_a^lna，
所以f'（x）在（-∞，-log_a^lna）上是减函数，在（-log_a^lna，+∞）是增函数，故．
（2）若f（x）_min＜0，即，
则ln（lna）＜-1，
∴lna＜，
∴．
分析：（1）利用对数的定义求出f'（x）=0时的x值，根据x的范围讨论函数的增减性，得到函数的最小值；
（2）让最小值小于0列出不等式，根据对数函数的性质求出解集即可得到a的范围．
点评：考查学生运用对数基本性质的能力，以及利用导数求函数极值的能力．