Question

如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（方法一：传统几何方法）（1）证明线面平行，可在平面内找到一条线与面外的线AF平行即可，因此本小题可取CE中点为G，连接DG，FG，证明四边形AFGD为平行四边形即可完成证明；（2）本小题中可过点E作CB的平行线交BF的延长线于P，连接FP,EP,AP，把问题转化为证明为平面与平面所成锐二面角的平面角，再利用直角三角形的边角关系算出其余弦值.

（方法二：空间向量方法）（1）本小题可以以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，把问题转化为证明AF的方向向量与平面CDE的一个法向量垂直（证它们的数量积为零），而根据题意易得这个法向量为；（2）本小题为常考的利用空间向量解决面面角问题，只需找到这两个面的法向量，利用公式完成计算即可，但要注意本题面面角为锐二面角.

试题解析：（方法一：）（1）取CE中点为G，连接DG，FG，

且,∴四边形BFGC为平行四边形，则且.

∵四边形ABCD为矩形，∴且,∴且,

∴四边形AFGD为平行四边形，则

∵，,∴.

（2）过点E作CB的平行线交BF的延长线于P，连接FP,EP,AP,

∵,∴A,P,E,D四点共面. 四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角.

，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（方法二：）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面,∴平面,以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.

根据题意我们可得以下点的坐标：

∵∴为平面的一个法向量，又∵

∴平面.

（2）设平面的一个法向量为则,∵

， 取，得．平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

考点：线面平行的判定定理，二面角及其平面角的定义，二面角的余弦公式，向量的数量积，空间直角坐标系的建立及坐标的找寻，法向量的求法.