Question

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），

OC

=

OQ

+m

OA

满足

AP

•

OC

=1-m．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0求出x的解，确定函数的增减性得到函数的极值，从而得到A、B的坐标；
（2）利用向量的数量积运算，可得动点P的轨迹方程，分类讨论，可得轨迹的形状．

解答：解：（1）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0；当-1＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）；
（2）由题意，

AP

=(1+x，y)，

OC

=(mx-m，2y)
∵

AP

•

OC

=1-m
∴（1+x）（mx-m）+2y²=1-m
∴mx²+2y²=1
①m=0时，y=±

2

2

，表示两条平行直线；
②m=2时，x²+y²=

1

2

，表示原点为圆心，半径为

2

2

的圆；
③m＜0时，

y2

1 2

-

x2

- 1 m

=1，表示焦点在y轴上的双曲线；
④m＞0时，

y2

1 2

+

x2

1 m

=1，若0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；若m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，会用平面内两个向量数量积的运算，以及会求动点的轨迹方程的能力．