Question

【题目】已知f（x）＝1nx2x+1，其中a≠0．

（1）当a＝1时，求f（x）的极值；

（2）当a＞0时，证明：f（x）．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的极大值为﹣2，无极小值（2）证明见解析

【解析】

（1）对f（x）求导，求出函数单调性，求出极值；

（2）证明f（x）即证明f（x）max，利用导数求出f（x）的最大值即可．

解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx2x+1，

所以f（x），（x＞0）

令f'（x）＞0得f（x）在（0，1）单调递增，

令f'（x）＜0得f（x）在（1，+∞）单调递减，

所以当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝﹣2，无极小值；

（2）当a＞0时，f'（x）（x＞0），

令g（x）＝﹣2x2+x+a，则g（0）＝a＞0，又g（x）开口向下，且对称轴为x，

所以存在x0使得g（x0）＝0，即a＝2x0，

所以当x∈（0，x0）时，f（x）单调递增，（x0，+∞）是单调递减，

所以当x＝x0时，f（x）取得最大值f（x0），

f（x0）＝lnx02x0+1＝lnx02x0+1＝lnx0﹣4x0+2，

令h（x0）＝f（x0），

所以当x0时，h'（x0）0，

所以在h（x0）（上单调递减，

所以h（x0）＜h（）＝lnln，

所以原不等式成立．