Question

6．已知函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函数
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数f（x）在其定义域内是减函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求实数a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明：函数f（x）在其定义域内是减函数．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a的定义域为（-∞，+∞），
且f（x）是奇函数，
则$\frac{2}{1+1}$+a=0，即a=-1．
（2）∵a=-1．
∴f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$+1=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$＞0，
则${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
即函数f（x）在其定义域内是减函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．