Question

15．已知函数$f（x）=a+\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，利用函数f（x）为奇函数，f（0）=0，即可求a的值；
（2判断函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，然后用定义证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
由于定义域为R的奇函数有f（0）=0，…（4分）
故$f（0）=a+\frac{1}{{{2^0}+1}}=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$．…（7分）
（2）函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数．              …（8分）
证明：任取x₁＜x₂，有${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（a+\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a+\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}＞0$，…（13分）
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数．  …（15分）
（注：在本小题中若取$a=-\frac{1}{2}$证明，其它无误，则扣2分）

点评 本题考查函数的奇偶性的应用以及函数的单调性的证明，考查计算能力．