Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn(c是不为零的常数，n=1，2，3，…)，且a₁，a₂，a₃成等比数列，
(Ⅰ)求c的值；
(Ⅱ)求{a_n}的通项公式；
(Ⅲ)求数列的前n项之和T_n．

Answer 1

解：(Ⅰ)a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以(2+c)²=2(2+3c)，解得c=0或c=2，
∵c≠0，
∴c=2．
(Ⅱ)当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=(n-1)c，
所以，
又a₁=2，c=2，
故a_n=2+n(n-1)=n²-n+2(n=2，3，…)，
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2(n=1，2，…)．
(Ⅲ)令，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
，①
，②
①-②得：。