Question

16．二次函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）函数值中所有整数值的个数为g（n），a_n=$\frac{{2{n^3}+3{n^2}}}{g（n）}$（n∈N^*），求S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n．

Answer 1

分析 根据题意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，g（n）可求；根据a_n=$\frac{{2{n^3}+3{n^2}}}{g（n）}$（n∈N^*）=n²，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，对n分奇、偶讨论解决即可

解答 解：∵f（n）=n²+n，
∴f（n+1）=（n+1）²+n+1=n²+3n+2，
∵[1，3]中整数值有3个，[1，+∞]中整数值有100个，注意：个数应再加开头的一个
例如在[1，100]中，整数计算100-1+1=100个，
∴在[f（n），f（n+1）]中整数计算应为  f（n+1）-f（n）+1=2n+3，
∴g（n）=2n+3，
∴${a_n}=\frac{{2{n^3}+3{n^2}}}{2n+3}={n^2}$，
∴${S_n}=1-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+（{n-1+n}）（{n-1-n}）$
（1）当n为奇数时${S_n}=1-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（{-1}）^{n-1}}{a_n}$
=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+…+（n-2+n-1）（n-2-n+1）+n²
=-（1+2+3+…+n-2+n-1）+n²=$-\frac{{（{1+n-1}）（{n-1}）}}{2}+{n^2}$=$-\frac{{n（{n-1}）}}{2}+{n^2}$=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$
（2）当n为偶数时${S_n}=1-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…{（{n-1}）^2}-{n^2}$，
=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+…（n-1+n）（n-1-n），
=-（1+2+3+4+…+n），
=$-\frac{{n（{1+n}）}}{2}$，
=$-\frac{{{n^2}+n}}{2}$．
综上可得：原式${S_n}={（{-1}）^{n+1}}\frac{{{n^2}+n}}{2}$

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．