Question

6．已知点A（0，3），若圆C：（x-a）²+（y-2a+4）²=1上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为[0，$\frac{12}{5}$]．

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标，设出M坐标，由|MA|=2|MO|求得M的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案．

解答 解：由C：（x-a）²+（y-2a+4）²=1，得圆心C（a，2a-4），
设M（x，y），
∵|MA|=2|MO|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
∴点M在以D（0，-1）为圆心，以2为半径的圆上，
则圆C与圆D有公共点，满足2-1≤CD≤2+1，
即1$≤\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}≤3$，
即$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}-12a+8≥0}\\{5{a}^{2}-12a≤0}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{12}{5}$．
故答案为：[0，$\frac{12}{5}$]．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，是中档题．