Question

14．某工厂要制造A种电子装置45台、B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2m²，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3m²，可做A、B的外壳均为6个．设工厂用x张甲种薄钢板，y张乙种薄钢板．
（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域；
（Ⅱ）甲，乙两种薄钢板各用多少张才能使用料总面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

分析 （I）根据面积列出约束条件，作出平面区域；
（II）目标函数为z=2x+3y，即y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$，根据平面区域找到最优解得位置，解方程组得出最优解．

解答 解：（Ⅰ）设工厂用x张甲种薄钢板，y张乙种薄钢板，
则x，y满足的数学关系式为$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y≥45}\\{5x+6y≥55}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图所示：

（Ⅱ）设总面积为zm²，则目标函数为：z=2x+3y．
由z=2x+3y得：y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$，
∴由图可知，当直线y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$过点A时，直线的截距最小，即z最小．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=45}\\{5x+6y=55}\end{array}\right.$ 得A（5，5），
∴z_min=2×5+3×5=25．  
答：甲，乙两种薄钢板各用5张才能使用料总面积最小，最小面积是25m²．

点评 本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题．