Question

设a＞ln2-1，函数f（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值，指出方程f（x）=0的根的个数；
（2）求证：当x＞0时，不等式e^x＞x²-2ax+1成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，知f′（x）=e^x-2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．
（2）设g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2-1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e^x＞x²-2ax+1．

解答： （1）解：∵f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e^x-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减?	2（1-ln2+a）	单调递增?

故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a）＞0，无极大值．
∴f（x）=0无解．
（2）证明：设g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
由（1）知当a＞ln2-1时，
g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．
于是当a＞ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即e^x-x²+2ax-1＞0，
故e^x＞x²-2ax+1．

点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．